SGU 270 Thimbles（分情况讨论题）-白红宇

SGU 270 Thimbles（分情况讨论题）

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发布时间：2019-06-21

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题意：一个无向图，一个球开始放在1号顶点处。一共有m条边，可知m条边组成的全排列有m！种。对于其中一种排列，依次操作每一条边，操作是指对于边(u,v)，若球在u则换到v，若在v则换到u。既不在u也不在v则此操作后小球不动。问小球最后有多少种可能的位置？

思路：设g[u][v]表示(u,v)之间边的数量。首先我们判断1号点是否可达。一号点可达仅当下面情况之一成立：

（1）存在一个点v使得g[1][v]大于0且为偶数；

（2）存在一个点v使得g[1][v]大于1不为偶数，但是存在一个环包含v但是不包含1；

（3）存在一个包含1的环；

（4）存在至少两个点u和v使得g[1][u]>1且g[1][v]>1。

（5）1与任何点都不连通。

以上5种情况至少一种成立则1可达。下面是除1以外其他一点u可达的情况（首先1与u必是联通的，我们假设现在已经确定是联通的）：

（1）g[1][u]为奇数；

（2）存在一个环除包含1和u外还至少包含其他一个点；

（3）存在一个包含1不包含u的环；

（4）存在一个包含u不包含1的环。

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